第1章 基础知识 1
1.1 复数和复变函数 1
1.1.1 复数的基本概念 1
1.1.2 复变函数的基本概念 2
1.2 导数和解析函数 3
1.2.1 导数 3
1.2.2 解析函数 4
1.3 矢量微分算子与拉普拉斯算子 5
1.3.1 矢量微分算子 5
1.3.2 拉普拉斯算子 6
1.4 傅里叶级数与傅里叶变换 7
1.4.1 周期函数的傅里叶级数 7
1.4.2 傅里叶积分 8
1.4.3 傅里叶变换 9
1.4.4 傅里叶变换的性质 10
1.5 拉普拉斯变换 11
1.5.1 拉普拉斯变换的定义 11
1.5.2 拉普拉斯变换的性质 12
1.6 δ 函数 13
1.6.1 δ 函数的定义和含义 13
1.6.2 δ 函数的性质 14

第2章 数学物理方程和定解条件 16
2.1 波动方程 16
2.1.1 弦的横振动方程 16
2.1.2 杆的纵振动方程 19
2.1.3 轴的扭转振动方程 22
2.1.4 传输线方程 26
2.1.5 电磁场方程 27
2.1.6 地震勘探中的波动方程 28
2.2 热传导方程 29
2.2.1 热传导方程的建立 29
2.2.2 扩散方程的建立 32
2.2.3 渗流方程的建立 33
2.3 稳定问题 34
2.3.1 泊松方程和拉普拉斯方程 34
2.3.2 亥姆霍兹方程 34
2.3.3 工程流体力学中的稳定问题 35
2.4 定解条件 36
2.4.1 初始条件 37
2.4.2 边界条件 37
2.5 定解问题的存在性、唯一性和稳定性 40
习题 2 41

第3章 偏微分方程的行波解 42
3.1 线性偏微分方程解的可叠加性 42
3.2 一维波动方程的行波解 43
3.3 二维拉普拉斯方程的行波解 45
习题 3 46

第4章 分离变量法 48
4.1 一维齐次偏微分方程的定解问题 48
4.2 二维齐次偏微分方程的定解问题 54
4.2.1 二维拉普拉斯方程和齐次边界条件的定解问题 54
4.2.2 二维齐次波动方程的定解问题 57
4.2.3 二维齐次热传导方程的定解问题 60
4.3 非齐次方程和齐次边界条件的定解问题 63
4.3.1 方程和边界条件同时齐次化法 63
4.3.2 按相应齐次问题本征函数展开法 68
4.4 齐次方程和非齐次边界条件的定解问题 71
习题 4 77

第5章 积分变换法 80
5.1 傅里叶变换法 80
5.1.1 傅里叶变换法求解热传导问题 81
5.1.2 傅里叶变换法的应用 83
5.2 拉普拉斯变换法 87
5.2.1 拉普拉斯变换法求解地层热传导系统的定解问题 87
5.2.2 拉普拉斯变换法的应用 89
习题 5 92

第6章 格林函数方法 95
6.1 格林函数的概念 95
6.2 稳定问题格林函数的一般性质 97
6.3 圆内泊松方程第一边值问题的格林函数 100
习题 6 106

第7章 贝塞尔函数 107
7.1 贝塞尔方程的引入 107
7.2 贝塞尔方程的求解 110
7.2.1 贝塞尔方程的广义幂级数解 110
7.2.2 第一类贝塞尔函数 111
7.2.3 贝塞尔方程的通解 113
7.3 贝塞尔函数的基本性质 115
7.3.1 生成函数 115
7.3.2 递推公式 116
7.3.3 积分表示 117
7.4 贝塞尔函数应用举例 119
习题 7 122

第8章 勒让德多项式 124
8.1 勒让德方程的引入 124
8.2 勒让德方程的解 126
8.3 勒让德多项式 129
8.4 勒让德多项式的基本性质 132
8.4.1 勒让德多项式的微分表示 132
8.4.2 勒让德多项式的正交完备性 133
8.5 勒让德多项式应用举例 136
习题 8 138

参考文献 139