目 录 第1章 矢量分析与场论初步1 §1.1 矢量函数及其导数与积分1 1.1.1 矢量函数1 1.1.2 矢量函数的极限与连续性3 1.1.3 矢量函数的导数和积分5 §1.2 梯度、散度与旋度在正交曲线坐标系中的表达式10 1.2.1 直角坐标系下“三度”及Hamilton算子10 1.2.2 正交曲线坐标系下的“三度”17 1.2.3 “三度”的运算公式21 §1.3 正交曲线坐标系下的Laplace算符、Green第一公式和Green第二公式23 §1.4 算子方程25 习题一31 第2章 数学物理定解问题34 §2.1 基本方程的建立34 2.1.1 均匀弦的微小横振动34 2.1.2 均匀膜的微小横振动36 2.1.3 传输线方程37 2.1.4 电磁场方程39 2.1.5 热传导方程40 2.1.6 扩散方程42 §2.2 定解条件43 2.2.1 初始条件43 2.2.2 边界条件44 §2.3 定解问题的提法46 §2.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简47 2.4.1 两个自变量方程的分类与化简47 2.4.2 常系数偏微分方程的进一步简化53 2.4.3 线性偏微分方程的叠加原理54 习题二55 第3章 分离变量法57 §3.1 （1 1）维齐次方程的分离变量法57 3.1.1 有界弦的自由振动57 3.1.2 有限长杆上的热传导65 3.2 二维Laplace方程的定解问题70 3.3 高维Fourier级数及其在高维定解问题中的应用77 3.4 非齐次方程的解法82 3.4.1 固有函数法82 3.4.2 冲量法89 3.4.3 特解法93 3.5 非齐次边界条件的处理95 习题三102 第4章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题105 §4.1 二阶常微分方程系数与解的关系105 §4.2 二阶常微分方程的级数解法106 4.2.1 常点邻域内的级数解法106 4.2.2 正则奇点附近的级数解法111 4.3 SturmLiouville（斯特姆刘维尔）本征值问题117 习题四122 第5章 Legendre多项式及其应用124 5.1 Legendre方程与Legendre多项式的引入124 5.2 Legendre 多项式的性质127 5.2.1 Legendre多项式的微分表示127 5.2.2 Legendre多项式的积分表示129 5.2.3 Legendre多项式的母函数129 5.2.4 Legendre多项式的递推公式131 5.2.5 Legendre多项式的正交归一性132 5.2.6 按Pn(x)的广义Fourier级数展开134 5.2.7 一个重要公式134 5.3 Legendre多项式的应用135 5.4 关联Legendre多项式139 5.4.1 关联 Legendre函数的微分表示140 5.4.2 关联Legendre函数的积分表示140 5.4.3 关联Legendre函数的正交性与模方141 5.4.4 按Pml(x)的广义Fourier级数展开141 5.4.5 关联Legendre函数递推公式141 习题五143 第6章 Bessel函数的性质及其应用145 6.1 Bessel方程的引出145 6.2 Bessel函数的性质147 6.2.1 Bessel函数的基本形态及本征值问题147 6.2.2 Bessel函数的递推公式149 6.2.3 Bessel函数的正交性和模方152 6.2.4 按Bessel函数的广义Fourier级数展开153 6.2.5 Bessel函数的母函数 积分表示和加法公式154 6.3 Bessel函数在定解问题中的应用156 6.4 修正Bessel函数164 6.4.1 第一类修正Bessel函数164 6.4.2 第二类修正Bessel函数165 6.5 球Bessel函数169 6.5.1 波动方程的变量分离169 6.5.2 热传导方程的分离变量170 6.6.3 Helmholtz方程的分离变量170 6.5.4 球Bessel函数171 6.6 柱面波与球面波177 6.6.1 柱面波177 6.6.2 球面波180 6.7 可化为Bessel方程的方程181 6.7.1 Kelvin (omSon)方程181 6.7.2 其他例子181 6.7.3 含Bessel函数的积分182 6.8 其他特殊函数方程简介186 6.8.1 Hemiter多项式186 6.8.2 Laguerre多项式188 习题六189 第7章 行波法与积分变换法191 §7.1 一维波动方程的D'Alember(达朗贝尔)公式191 §7.2 三维波动方程的Poisson公式196 §7.3 Fourier积分变换法求定解问题203 7.3.1 预备知识——Fourier变换及性质204 7.3.2 Fourier变换法205 §7.4 Laplace变换法解定解问题208 7.4.1 Laplace变换及其性质208 7.4.2 Laplace变换法210 习题七213 第8章 Green函数法216 §8.1 引言216 §8.2 δ函数的定义与性质217 8.2.1 δ函数的定义217 8.2.2 广义函数的导数218 8.2.3 δ函数的Fourier变换219 8.2.4 高维δ函数220 §8.3 Poisson方程的边值问题220 8.3.1 Green公式220 8.3.2 解的积分形式—Green函数法221 8.3.3 Green函数关于源点和场点是对称的225 §8.4 Green函数的一般求法225 8.4.1 无界区域的Green函数226 8.4.2 用本征函数展开法求边值问题的Green函数227 §8.5 用电像法求某些特殊区域的DirichletGreen函数229 8.5.1 Poisson方程的DirichletGreen函数及其物理意义229 8.5.2 用电像法求Green函数230 §8.6* 含时间的定解问题的Green函数233 习题八238 第9章 变分法239 §9.1 泛函和泛函极值239 9.1.1 泛函239 9.1.2 泛函的极值与泛函的变分240 9.1.3 泛函取极值的必要条件—欧拉方程241 9.1.4 复杂泛函的Euler方程244 9.1.5 泛函的条件极值问题247 9.1.6 求泛函极值的直接方法——Ritz（里兹）方法252 §9.2 用变分法解数理方程255 9.2.1 本征值问题和变分问题的关系255 9.2.2 通过求泛函的极值来求本征值257 9.2.3 边值问题与变分问题的关系260 §9.3* 与波导相关的变分原理及近似计算262 9.3.1 共振频率的变分原理262 9.3.2 波导的传播常数γ的变分原理264 9.3.3 任意截面的柱形波导管截止频率的近似计算265 习题九273 附录A Fourier变换和Laplace变换简表276 附录B 通过计算留数求拉普拉斯变换的反演281 参考文献283