目录

前言

第1讲 预备知识 1

1.1 集合代数与关系 1

1.2 函数与等价关系 3

1.3 序关系与选择公理 4

1.4 集合的可数性 9

*1.5 基数 10

习题 11

第2讲 拓扑空间的基本概念 15

2.1 拓扑空间的定义 15

2.2 度量拓扑与度量空间 19

2.3 拓扑空间的几个基本概念 22

2.3.1 闭集 22

2.3.2 邻域、内点和内部 23

2.3.3 聚点与闭包 24

2.3.4 序列的收敛性 27

2.4 子空间 28

习题 30

第3讲 拓扑空间之间的连续映射 34

3.1 连续映射的概念 34

3.2 连续映射的性质与粘接引理 37

3.3 同胚映射 41

3.4 嵌入与嵌入映射 44

习题 45

第4讲 拓扑基与邻域基 48

4.1 拓扑基与子基 48

4.2 邻域基 53

习题 58

第5讲 Tychono 积空间 61

5.1 有限多个空间的积空间 61

5.2 任意多个空间的积空间 64

5.3 拓扑性质的可乘性 70

习题 73

第6讲 分离性公理 75

6.1 分离性公理的概念 75

6.2 各种分离性的基本性质 79

6.3 各种分离性之间的关系 83

习题 87

第7讲 Urysohn 引理与完全正则空间 90

7.1 Urysohn 引理 90

7.2 Tietze 扩张引理 93

7.3 完全正则空间 97

7.4 Urysohn 度量化定理 102

习题 104

第8讲 点网与滤子 106

8.1 点网 106

8.2 滤子 111

习题 115

第9讲 拓扑空间的紧致性 117

9.1 紧致性概念 117

9.2 紧致空间的基本性质 119

9.3 度量空间中的紧致性 126

习题 129

第10讲 列紧性、可数紧性与伪紧性 132

10.1 列紧性 132

10.2 可数紧性 135

10.3 伪紧性 140

习题 143

第11讲 局部紧性与 Baire 空间 145

11.1 局部紧性 145

11.2 非紧的完全正则空间的紧致化 148

11.2.1 局部紧致而非紧致的 Hausdor 空间的 Alexandro 单点紧致化 148

11.2.2 Stone-Cech 紧致化简介 150

11.3 Baire 空间 151

习题 153

第12讲 仿紧性 155

12.1 仿紧空间的概念 155

12.2 仿紧空间的性质 160

习题 166

第13讲 连通性与道路连通性 168

13.1 连通性的概念 168

13.2 连通空间的性质 169

13.3 连通分支 173

13.4 局部连通性 173

13.5 道路与道路连通空间 176

13.6 道路连通分支 179

13.7 局部道路连通 179

习题 181

第14讲 度量空间的完备性与完备化 184

14.1 Cauchy 序列 184

14.2 完备度量空间 185

14.3 度量空间的完全有界性 191

14.4 完备度量空间的子空间 194

14.5 度量空间的完备化 197

习题 200

第15讲 商空间与商映射 202

15.1 商空间 202

15.2 商映射 205

*15.3 拓扑锥与贴空间 209

*15.4 映射柱与映射锥 213

习题 215

第16讲 函数空间 219

16.1 点式收敛拓扑 219

16.2 RX 上的一致收敛拓扑 220

16.3 紧开拓扑 223

16.4 k-空间与 Ascoli 定理 227

习题 231

附录 处处连续但处处不可导的函数的存在性证明 233

第17讲 同伦映射与空间的同伦等价 238

17.1 映射的同伦 238

17.2 空间的同伦等价 245

17.3 可缩空间 251

习题 252

参考文献 254

索引 255