第1章 绪论 1 1.1 计算方法研究的对象和特点 1 1.2 计算方法的误差 4 1.2.1 误差的来源与分类 4 1.2.2 误差与有效数字 6 1.2.3 有效数字与相对误差限的关系 8 1.2.4 数值运算的误差估计 9 1.3 避免误差需要遵循的原则与注意的问题 12 1.3.1 遵循的原则 12 1.3.2 注意的问题 13 小结 15 习题 15 第2章 非线性方程的数值解法 16 2.1 根的隔离与二分法 16 2.1.1 根的隔离 16 2.1.2 二分法 18 2.2 迭代法及其收敛性 20 2.2.1 不动点迭代法基本概念 20 2.2.2 不动点的存在性与收敛性 22 2.3 迭代收敛的加速方法 28 2.3.1 迭代的收敛速度 28 2.3.2 收敛过程的加速 31 2.4 牛顿迭代法 35 2.4.1 牛顿法的构造及牛顿迭代公式 35 2.4.2 牛顿法的收敛性和收敛速度 36 2.4.3 初值的选取 40 2.4.4 牛顿下山法 41 2.5 近似牛顿法 43 2.5.1 简化牛顿法 43 2.5.2 弦截法 43 2.5.3 快速弦截法 45 2.5.4 抛物线法 48 小结 51 习题 52 第3章 线性方程组的数值解法 53 3.1 解线性方程组的直接法 54 3.1.1 高斯消去法 54 3.1.2 列主元消去法 56 3.1.3 矩阵的三角分解 58 3.1.4 追赶法 64 3.1.5 平方根法 68 3.1.6 向量和矩阵的范数 71 3.2 解线性方程组的迭代法 80 3.3 简单迭代法 83 小结 90 习题 91 第4章 插值法与曲线拟合 94 4.1 插值多项式的存在唯一性 94 4.2 拉格朗日插值 95 4.2.1 线性插值 95 4.2.2 抛物插值 97 4.2.3 拉格朗日插值多项式 98 4.2.4 插值余项、误差估计 99 4.3 牛顿插值 103 4.3.1 插值基函数 103 4.3.2 差商的概念 104 4.3.3 差商的性质 105 4.3.4 牛顿插值公式 107 4.4 埃尔米特插值 109 4.5 分段插值 115 4.5.1 高次插值的龙格（Runge）现象 115 4.5.2 分段插值的概念 117 4.5.3 分段线性插值 117 4.5.4 分段三次埃尔米特插值 119 4.6 三次样条插值 122 4.7 曲线拟合的最小二乘法 127 4.7.1 直线拟合 127 4.7.2 多项式拟合 128 4.7.3 其他函数曲线拟合 131 小结 135 习题 135 第5章 数值积分与数值微分 139 5.1 数值积分 139 5.1.1 机械求积公式和代数精度 140 5.1.2 求积公式的构造方法 145 5.1.3 牛顿-科茨求积公式 149 5.1.4 复化求积法 154 5.1.5 龙贝格（Romberg）求积公式及算法 157 5.2 数值微分 163 5.2.1 差商型数值微分 163 5.2.2 插值型数值微分 164 5.2.3 样条插值型数值微分 166 5.2.4 理查森外推型数值微分 167 小结 169 习题 170 第6章 常微分方程数值解法 172 6.1 欧拉法、隐式欧拉法和二步欧拉法 173 6.1.1 欧拉法 173 6.1.2 隐式欧拉法和二步欧拉法 174 6.1.3 局部截断误差与精度 176 6.2 梯形法和改进的欧拉法 177 6.2.1 梯形法 178 6.2.2 改进的欧拉法 179 6.3 龙格-库塔法 184 6.3.1 龙格-库塔法的基本思想 184 6.3.2 二阶龙格-库塔法 185 6.3.3 高阶龙格-库塔法 187 6.3.4 变步长龙格-库塔法 191 6.4 单步法的收敛性与稳定性 192 6.4.1 收敛性 193 6.4.2 稳定性 196 6.5 一阶方程组及高阶方程 198 6.5.1 一阶方程组 198 6.5.2 高阶方程的初值问题 200 6.6 边值问题的数值解法 202 小结 205 习题 206 第7章 矩阵特征值的计算 208 7.1 乘幂法与反幂法 208 7.1.1 计算模最大特征值的乘幂法 208 7.1.2 算法实现 210 7.1.3 反幂法 211 7.2 QR方法 212 7.2.1 镜像矩阵与QR分解 212 7.2.2 QR方法实现 215 小结 217 实验 求矩阵特征值的乘幂法与反幂法 217 习题 217 第8章 智能计算基本算法 219 8.1 遗传算法 220 8.1.1 遗传算法概述 220 8.1.2 遗传算法原理 221 8.1.3 遗传算法实现 223 8.1.4 遗传算法应用 225 8.2 蚁群算法 227 8.2.1 蚁群算法原理 228 8.2.2 蚁群算法的数学模型 229 8.2.3 蚁群算法实现 231 8.3 粒子群算法 233 8.3.1 粒子群算法概述 233 8.3.2 基本粒子群算法 234 8.3.3 改进粒子群算法 235 8.3.4 非线性方程（组）求根的粒子群算法 236 8.4 人工神经网络 238 8.4.1 人工神经元 238 8.4.2 激活函数 239 8.4.3 损失函数 241 8.4.4 基于梯度下降的优化算法 242 8.4.5 前馈神经网络 244 8.4.6 误差反向传播算法 245 小结 249 习题 249 第9章 数值计算的MATLAB实践 251 9.1 MATLAB基础 251 9.1.1 运算符 251 9.1.2 函数命令 252 9.1.3 矩阵与数组运算 253 9.1.4 绘图 254 9.1.5 程序设计基础 256 9.2 非线性方程组求根问题的MATLAB实现 257 9.2.1 MATLAB中与方程组有关的命令 257 9.2.2 求方程实根的实现 258 9.2.3 实际问题的求解 259 9.3 线性方程组求根问题的MATLAB实现 259 9.3.1 MATLAB中与方程组有关的命令 259 9.3.2 Gauss消去法的源程序 259 9.3.3 Jacobi迭代法的源程序 260 9.3.4 Gauss-Seidel迭代法的源程序 261 9.4 插值问题的MATLAB实现 262 9.4.1 MATLAB自带的插值命令 262 9.4.2 拉格朗日插值和牛顿插值 265 9.4.3 拟合与逼近的MATLAB实现 266 9.5 数值积分的MATLAB实现 268 9.5.1 数值积分命令 268 9.5.2 实际问题的求解 269 9.6 常微分方程问题的MATLAB实现 270 9.6.1 常微分方程数值解法的源程序 270 9.6.2 实际问题的求解 271 9.7