- 科学出版社
- 9787030360311
- 31
- 87028
- 47181708-0
- 平装胶订
- 2023-01
- 328
- O189.3
内容简介
本书是微分流形和现代几何的一本人门教材，它从微分流形的定义出发，介绍了现代几何学研究中的各种基本概念和技巧。本书前两章为基础内容，主要介绍流形上的微积分并证明Stokes积分公式；后三章分别从几何、拓扑和整体分析三个方面阐述现代几何中的一些重要成果，如Gauss-Bonnet-Chern公式、Hodge定理以及Atiyah-Singer指标公式等。本书内容丰富、语言简洁，书中含有详细的例子和练习。凡具有微积分、线性代数、点集拓扑以及泛函分析基础的读者均可阅读本书。
目录
前言
第1章 微分流形
1.1 流形的定义和例子
1.2 子流形
1.3 单位分解
1.4 切空间和切映射
1.5 Sard定理及应用
1.6 Lie群初步
第2章 流形上的微积分
2.1 切丛和切向量场
2.2 可积性定理及应用
2.3 向量丛和纤维丛
2.4 张量丛
2.5 微分形式
2.6 带边流形
2.7 Stokes积分公式
第3章 流形的几何
3.1 度量回顾
3.2 联络
3.3 曲率
3.4 联络和曲率的计算
3.4.1 活动标架法
3.4.2 正规坐标
3.5 子流形几何
3.5.1 第二基本形式
3.5.2 活动标架法
3.5.3 极小子流形
3.5.4 黎曼淹没
3.6 齐性空间
3.6.1 Lie群和不变度量
3.6.2 齐性空间
3.6.3 对称空间
3.7 主丛及其联络
3.8 Gauss-Bonnet-Chern公式
3.8.1 向量场的指标
3.8.2 单位球丛上的计算
3.9 Chern-Weil理论
第4章 流形的上同调
4.1 Poincaré引理
4.1.1 Poincaré引理
4.1.2 映射度回顾
4.2 de Rham上同调群的计算
4.2.1 群作用与上同调
4.2.2 Mayer-Vietoris正合序列
4.3 Thom类和相交数
4.3.1 Thom类
4.3.2 相交数
4.4 Hodge理论
4.4.1 Hodge星算子
4.4.2 Bochner技巧
4.5 Dirac算子
4.5.1 Clifford代数
4.5.2 Clifford丛
第5章 流形上的椭圆算子
5.1 Sobolev空间
5.2 Hodge定理的证明
5.3 热方程与热核
5.4 迹与指标公式
5.5 指标公式的证明
5.5.1 谐振子
5.5.2 Atiyah-Singer指标定理
参考文献
索引
第1章 微分流形
1.1 流形的定义和例子
1.2 子流形
1.3 单位分解
1.4 切空间和切映射
1.5 Sard定理及应用
1.6 Lie群初步
第2章 流形上的微积分
2.1 切丛和切向量场
2.2 可积性定理及应用
2.3 向量丛和纤维丛
2.4 张量丛
2.5 微分形式
2.6 带边流形
2.7 Stokes积分公式
第3章 流形的几何
3.1 度量回顾
3.2 联络
3.3 曲率
3.4 联络和曲率的计算
3.4.1 活动标架法
3.4.2 正规坐标
3.5 子流形几何
3.5.1 第二基本形式
3.5.2 活动标架法
3.5.3 极小子流形
3.5.4 黎曼淹没
3.6 齐性空间
3.6.1 Lie群和不变度量
3.6.2 齐性空间
3.6.3 对称空间
3.7 主丛及其联络
3.8 Gauss-Bonnet-Chern公式
3.8.1 向量场的指标
3.8.2 单位球丛上的计算
3.9 Chern-Weil理论
第4章 流形的上同调
4.1 Poincaré引理
4.1.1 Poincaré引理
4.1.2 映射度回顾
4.2 de Rham上同调群的计算
4.2.1 群作用与上同调
4.2.2 Mayer-Vietoris正合序列
4.3 Thom类和相交数
4.3.1 Thom类
4.3.2 相交数
4.4 Hodge理论
4.4.1 Hodge星算子
4.4.2 Bochner技巧
4.5 Dirac算子
4.5.1 Clifford代数
4.5.2 Clifford丛
第5章 流形上的椭圆算子
5.1 Sobolev空间
5.2 Hodge定理的证明
5.3 热方程与热核
5.4 迹与指标公式
5.5 指标公式的证明
5.5.1 谐振子
5.5.2 Atiyah-Singer指标定理
参考文献
索引
