- 机械工业出版社
- 9787111552970
- 1-2
- 167317
- 45248012-2
- 精装
- 16开
- 2017-07
- 358
- 284
- 理学
- 数学
- O174.5
- 数学与应用数学
- 本科
内容简介
《复分析》是一部为数学及相关专业大学二年级和三年级学生编写的教材， 理论与实践并重。为了便于非数学专业的学生学习， 全书内容简明、易懂， 读者只需掌握微积分和线性代数知识即可阅读。本书共十章内容， 分别为： 复分析预备知识、柯西定理及其应用、亚纯函数和对数、傅里叶变换、整函数、Gamma函数和Zeta 函数、Zeta 函数和素数定理、共形映射、椭圆函数、Theta 函数的应用。后还有附录A和附录B， 分别介绍了渐近理论和单连通与Jordan 曲线定理。附录A主要内容包括Bessel函数、Laplace方法、Stirling公式、Airy函数和分割函数等； 附录B中介绍了单连通、卷绕数和Jordan曲线定理等内容。本书每个章节都引用了大量的例子， 使读者能很好地理论联系实际。此外， 每章后还附有大量的练习和问题， 让读者在掌握知识的同时能举一反三， 将问题推广。一些问题甚至是超出本书范围的， 这些问题用星号标记， 这给读者的深入钻研留出了足够的空间。
目录
目 录
译者的话
前言
引言
第1章复分析预备知识1
1 复数和复平面1
1.1基本性质1
1.2收敛性3
1.3复平面中的集合4
2 定义在复平面上的函数5
2.1连续函数5
2.2全纯函数6
2.3幂级数10
2.4沿曲线的积分13
2.54练习17
第2章 柯西定理及其应用23
1 Goursat定理24
2 局部原函数的存在和圆盘内的柯西定理26
3 一些积分估值29
4 柯西积分公式32
5 应用37
5.1Morera定理37
5.2全纯函数列37
5.3按照积分定义全纯函数39
5.4Schwarz反射原理40
5.5Runge近似定理42
6 练习44
7 问题47
第3章 亚纯函数和对数50
1 零点和极点51
2 留数公式54
2.1例子55
3 奇异性与亚纯函数58
4 辐角原理与应用62
5 同伦和单连通区域65
6 复对数68
7 傅里叶级数和调和函数70
8 练习72
9 问题75
第4章傅里叶变换78
1 F类79
2 作用在F类上的傅里叶变换80
3 PaleyWiener定理85
4 练习90
5 问题94
第5章 整函数96
1 Jensen公式97
2 有限阶函数99
3 无穷乘积101
3.1一般性101
3.2例子正弦函数的乘积公式102
4 Weierstrass无穷乘积104
5 Hadamard因子分解定理106
6 练习110
7 问题113
第6章 Gamma函数和Zeta函数115
1 Gamma函数115
1.1 解析延拓116
1.2 Γ函数的性质118
2 Zeta函数122
2.1 泛函方程和解析延拓122
3 练习127
4 问题131
第7章 Zeta函数和素数定理133
1 Zeta函数的零点134
1.1 1/ζ（s）的估计137
2 函数ψ和ψ1的简化138
2.1 ψ1的渐近证明142
3 练习146
4 问题149
第8章 共形映射151
1 共形等价和举例152
1.1 圆盘和上半平面153
1.2 进一步举例154
1.3 带形区域中的Dirichlet问题156
2 Schwarz引理圆盘和上半平面的自同构160
2.1 圆盘内的自同构161
2.2 上半平面的自同构163
3 黎曼映射定理164
3.1 必要条件和定理的陈述164
3.2 Montel定理165
3.3 黎曼映射定理的证明167
4 共形映射到多边形上169
4.1一些例子169
4.2SchwarzChristoffel积分172
4.3边界表现174
4.4映射公式177
4.5返回椭圆积分180
5 练习181
6 问题187
第9章 椭圆函数介绍192
1 椭圆函数193
1.1Liouville定理194
1.2Weierstrass函数196
2 椭圆函数的模特征和Eisenstein级数200
2.1 Eisenstein级数201
2.2 Eisenstein级数和除数函数203
3 练习205
4 问题207
第10章 Theta函数的应用209
1 Jacobi Theta 函数的乘积公式209
1.1进一步的变换法则214
2 母函数216
3 平方和定理218
3.1二平方定理219
3.2四平方定理224
4 练习228
5 问题232
附录A渐近236
1 Bessel函数237
2 Laplace方法Stirling公式239
3 Airy函数243
4 分割函数247
5 问题253
附录B单连通和Jordan曲线定理256
1 单连通的等价公式257
2 Jordan曲线定理261
2.1柯西定理的一般形式的证明268
注释和参考书目270
参考文献273
译者的话
前言
引言
第1章复分析预备知识1
1 复数和复平面1
1.1基本性质1
1.2收敛性3
1.3复平面中的集合4
2 定义在复平面上的函数5
2.1连续函数5
2.2全纯函数6
2.3幂级数10
2.4沿曲线的积分13
2.54练习17
第2章 柯西定理及其应用23
1 Goursat定理24
2 局部原函数的存在和圆盘内的柯西定理26
3 一些积分估值29
4 柯西积分公式32
5 应用37
5.1Morera定理37
5.2全纯函数列37
5.3按照积分定义全纯函数39
5.4Schwarz反射原理40
5.5Runge近似定理42
6 练习44
7 问题47
第3章 亚纯函数和对数50
1 零点和极点51
2 留数公式54
2.1例子55
3 奇异性与亚纯函数58
4 辐角原理与应用62
5 同伦和单连通区域65
6 复对数68
7 傅里叶级数和调和函数70
8 练习72
9 问题75
第4章傅里叶变换78
1 F类79
2 作用在F类上的傅里叶变换80
3 PaleyWiener定理85
4 练习90
5 问题94
第5章 整函数96
1 Jensen公式97
2 有限阶函数99
3 无穷乘积101
3.1一般性101
3.2例子正弦函数的乘积公式102
4 Weierstrass无穷乘积104
5 Hadamard因子分解定理106
6 练习110
7 问题113
第6章 Gamma函数和Zeta函数115
1 Gamma函数115
1.1 解析延拓116
1.2 Γ函数的性质118
2 Zeta函数122
2.1 泛函方程和解析延拓122
3 练习127
4 问题131
第7章 Zeta函数和素数定理133
1 Zeta函数的零点134
1.1 1/ζ（s）的估计137
2 函数ψ和ψ1的简化138
2.1 ψ1的渐近证明142
3 练习146
4 问题149
第8章 共形映射151
1 共形等价和举例152
1.1 圆盘和上半平面153
1.2 进一步举例154
1.3 带形区域中的Dirichlet问题156
2 Schwarz引理圆盘和上半平面的自同构160
2.1 圆盘内的自同构161
2.2 上半平面的自同构163
3 黎曼映射定理164
3.1 必要条件和定理的陈述164
3.2 Montel定理165
3.3 黎曼映射定理的证明167
4 共形映射到多边形上169
4.1一些例子169
4.2SchwarzChristoffel积分172
4.3边界表现174
4.4映射公式177
4.5返回椭圆积分180
5 练习181
6 问题187
第9章 椭圆函数介绍192
1 椭圆函数193
1.1Liouville定理194
1.2Weierstrass函数196
2 椭圆函数的模特征和Eisenstein级数200
2.1 Eisenstein级数201
2.2 Eisenstein级数和除数函数203
3 练习205
4 问题207
第10章 Theta函数的应用209
1 Jacobi Theta 函数的乘积公式209
1.1进一步的变换法则214
2 母函数216
3 平方和定理218
3.1二平方定理219
3.2四平方定理224
4 练习228
5 问题232
附录A渐近236
1 Bessel函数237
2 Laplace方法Stirling公式239
3 Airy函数243
4 分割函数247
5 问题253
附录B单连通和Jordan曲线定理256
1 单连通的等价公式257
2 Jordan曲线定理261
2.1柯西定理的一般形式的证明268
注释和参考书目270
参考文献273
